Question

已知F₁、F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，右焦点F₂（c，0）到上顶点的距离为2，若a²=

6

c
（1）求此椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于A、B两点，若弦AB的中点为P(1，

1

2

)，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

a2= 6 c a=2 a2=b2+c2.

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由弦AB的中点为P(1，

1

2

)，由此利用点差法能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵F₁、F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
右焦点F₂（c，0）到上顶点的距离为2，且a²=

6

c，
∴

a2= 6 c a=2 a2=b2+c2.

，解得a²=4，b²=

4

3

，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

3y2

4

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵弦AB的中点为P(1，

1

2

)，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
∵A，B都在椭圆C：

x2

4

+

3y2

4

=1上，
∴

x12

4

+

3y12

4

=1，

x 2 2

4

+

3 y 2 2

4

=1，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

3(y1+y2)

=-

2

3

，
∴直线l的方程为：y-

1

2

=-

2

3

（x-1），即4x+6y-7=0．

点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．