Question

4．已知函数f（x）=e^x+a，x∈[m，n]的值域为[2m，2n]，则a的取值范围是（-∞，-2+2ln2）．

Answer 1

分析 由题意可得m，n为e^x+a=2x的两个不等实根，根据导数的几何意义求出切线方程，即可判断a的范围

解答 解：f（x）=e^x+a在∈[m，n]上为增函数，
∴f（x）∈[e^m+a，eⁿ+a]，
∵函数f（x）=e^x+a，x∈[m，n]的值域为[2m，2n]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}+a=2m}\\{{e}^{n}+a=2n}\end{array}\right.$，
∴m，n为e^x+a=2x的两个不等实根，
即y=e^x，y=2x-a有两个不同的交点，
设切点为（x₀，y₀），
∵y′=e^x，
∴e${\;}^{{x}_{0}}$=2
∴x₀=ln2，
∴y₀=2，
∴-a＞2-2ln2，
即a＜-2+2ln2，
故答案为：（-∞，-2+2ln2）．

点评 本题考查了函数的值域和函数的单调性以及函数零点的问题，属于中档题