Question

14．第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园．
（1）若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？
（2）每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设X，Y分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）

Answer 1

分析 （1）由题意可得：共有2$（{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}•{∁}_{1}^{1}+{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{2}{∁}_{1}^{1}）$种不同的分配方案．
（2）对于两个公园分配人数分别为：0，5；1，4；2，3；3，2；4，1；5，0．可得ξ=|X-Y|的取值分别为：1，3，5．于是P（ξ=1）=$\frac{2{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{3}}{{2}^{5}}$，P（ξ=3）=$\frac{2{∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{4}}{{2}^{5}}$，P（ξ=5）=$\frac{2{∁}_{5}^{5}}{{2}^{5}}$．

解答 解：（1）学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有2$（{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}•{∁}_{1}^{1}+{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{2}{∁}_{1}^{1}）$=6种不同的分配方案．
（2）对于两个公园分配人数分别为：0，5；1，4；2，3；3，2；4，1；5，0．
∴ξ=|X-Y|的取值分别为：1，3，5．
∴P（ξ=1）=$\frac{2{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{3}}{{2}^{5}}$=$\frac{20}{32}$=$\frac{5}{8}$，P（ξ=3）=$\frac{2{∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{4}}{{2}^{5}}$=$\frac{10}{32}$=$\frac{5}{16}$，P（ξ=5）=$\frac{2{∁}_{5}^{5}}{{2}^{5}}$=$\frac{2}{32}$=$\frac{1}{16}$．
可得ξ分布列：

ξ	1	3	5
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{1}{16}$

∴Eξ=1×$\frac{5}{8}$+2×$\frac{5}{16}$+3×$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、组合数的计算公式、分类讨论方法、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．