Question

12．函数y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0（m＞0，n＞0）上，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4；m+2n的最小值为$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．

Answer 1

分析 由题意，求出A的坐标，代入直线$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0，可以基本不等式的性质求解即可．

解答 解：函数y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，
即x=1，y=1，
∴A的坐标为（1，1）．
将A代入直线$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0．
可得：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=4$．
得：$\frac{1}{4m}+\frac{1}{4n}=1$．
那么：（m+2n）（$\frac{1}{4n}+\frac{1}{4m}$）=$\frac{m}{4n}+\frac{n}{2m}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$≥2$\sqrt{\frac{m}{4n}×\frac{n}{2m}}+\frac{3}{4}$=$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．
（当且仅当m=$\sqrt{2}$n=$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$时，取等号）
∴m+2n的最小值为$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．
故答案为：4，$\frac{2\sqrt{2}+3}{4}$．

点评 本题考查了对数函数的恒过定点的求法和基本不等式的运用．属于中档题．