Question

14．如图，横梁的横断面是一个矩形，而横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为（　　）

• A． $\sqrt{3}$d，$\frac{\sqrt{3}}{3}$d
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$d，$\frac{\sqrt{6}}{3}$d
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$d，$\frac{\sqrt{3}}{3}$d
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$d，$\sqrt{3}$d

Answer 1

分析 根据横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，建立关系．由勾股定理可得x²+y²=d²，利用导函数的性质求出最值．

解答 解：由题意，设横梁的强度为T，则T=xy²．（x＞0，y＞0）
由勾股定理可得x²+y²=d²，
可得：T=x（d²-x²）=xd²-x³．
则T′=d²-3x²．
令T′=0．
可得：x=$\frac{d}{\sqrt{3}}$或$-\frac{d}{\sqrt{3}}$（舍去）．
当$0＜x＜\frac{d}{\sqrt{3}}$时，可得T′＞0，则T是单调递增函数．
当$x＞\frac{d}{\sqrt{3}}$时，可得T′＜0，则T是单调递减函数．
∴x=$\frac{d}{\sqrt{3}}$时，T取得最大值，此时y=$\sqrt{{d}^{2}-{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}d$．
故选：B．

点评 本题考查了函数模型在实际问题中的应用，利用到了导函数的性质求解最值，属于中档题．