Question

3．设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y）成立且当x＞0时，f（x）＞0
（1）判断f（x）的奇偶性并给出证明；
（2）判断f（x）的单调性并给出证明；
（3）若f（1）=1，解关于x的不等式f（x²+2x）+f（1-x）＞3．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得 f（0）=0．令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x），化简即可得出奇偶性．
（2）设x₁＞x₂，可得x₁-x₂＞0，f（x₁-x₂）＞0，代入可得f（x₁）＞f（x₂），即可得出单调性．
（3）由f（1）=1，可得f（3）=3，不等式f（x²+2x）+f（1-x）＞3．可得f（x²+2x+1-x）＞f（3）．利用单调性可得：x²+2x+1-x＞3．解出即可得出．

解答 解：（1）令x=y=0，则 f（0）=0．
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）．
故f（x）为奇函数．
（2）设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞0，
则f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0，∴f（x₁）＞-f（-x₂）=f（x₂），
故f（x）为R上的增函数．
（3）∵f（1）=1，∴f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=3，
∵不等式f（x²+2x）+f（1-x）＞3．
∴f（x²+2x+1-x）＞f（3）．
∵f（x）为R上的增函数，
∴x²+2x+1-x＞3．
化为：x²+x-2＞0．
解得x＞1，或x＜-2．
∴不等式f（x²+2x）+f（1-x）＞3的解集为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了抽象函数的奇偶性单调性、不等式的解法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．