Question

13．直线$\sqrt{2}$ax+by=1与圆x²+y²=1相交于A，B两点（期中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），求点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值．

Answer 1

分析 由△AOB是直角三角形，得${a}^{2}=1-\frac{{b}^{2}}{2}$，由此利用两点间距离公式能求出点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值．

解答 解：∵△AOB是直角三角形，
∴$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2a²+b²=2，∴${a}^{2}=1-\frac{{b}^{2}}{2}$，
则|MP|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{2}+（b-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（b-2）^{2}}$，
∵b²≤2，即-$\sqrt{2}≤b≤\sqrt{2}$，
∴b=-$\sqrt{2}$时，点P（a，b）与点（0，1）之间距离有最大值$\sqrt{2}+1$．

点评 本题考查两点间距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．