Question

19．教育部考试中心在对高考试卷难度与区分性能分析的研究中，在2007至2016十年间对每年理科数学的高考试卷随机抽取了若干样本，统计得到解答题得分率x以及整卷得分率y的数据，如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016
解答题得分率（x）	0.39	0.30	0.25	0.28	0.55	0.33	0.36	0.40	0.40	0.42
整卷得分率（y）	0.50	0.43	0.41	0.44	0.59	0.47	0.52	0.56	0.54	0.57

（1）利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（精确到0.01）
（2）若以函数y=0.85$\sqrt{x}$-0.01来拟合y与x之间的关系，计算得到相关指数R²=0.87，对比（1）中模型，哪一个模型拟合效果更好？
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$
参考数据：$\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}$≈3.7，$\sum_{i=1}^{10}{y}_{i}$≈5，$\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}{y}_{i}$≈1.89，$\sum_{i=1}^{10}{{x}_{i}}^{2}$≈1.429，$\sum_{i=1}^{10}（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）^{2}$≈0.006，$\sum_{i=1}^{10}$（y_i-$\overline{y}$）²≈0.036
其中${\widehat{y}}_{i}$表示（1）中拟合直线对应的估计值．

Answer 1

分析 （1）根据题意n=10，计算平均数与回归系数，写出线性回归方程；
（2）根据相关指数R²=0.87，计算（1）中模型的相关指数R²≈0.83，比较得出（2）中拟合效果要好些．

解答 解：（1）根据题意，n=10，$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$$\sum_{i=1}^{10}$x_i=0.37，
$\overline{y}$=$\frac{1}{10}$$\sum_{i=1}^{10}$y_i=0.5，
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1.89-10×0.37×0.5}{1.429-10{×0.37}^{2}}$≈0.67，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=0.5-0.67×0.37≈0.25，
∴y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=0.67x+0.25；
（2）以函数y=0.85$\sqrt{x}$-0.01来拟合y与x之间的关系，计算得到相关指数为R²=0.87，
又（1）中模型，计算相关指数为R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=1-$\frac{0.006}{0.036}$≈0.83，
∵0.87＞0.83，∴（2）中拟合效果要好些．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与根据相关指数判断拟合效果的应用问题，是中档题．