Question

13．已知点A（x_A，y_A）是单位圆（圆心为坐标原点O，半径为1）上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转$\frac{π}{3}$到OB，交单位圆于点B（x_B，y_B），已知m＞0，若my_A-2y_B的最大值为$\sqrt{7}$，则实数m为3．

Answer 1

分析 由坐标旋转公式，结合基本不等式，my_A-2y_B的最大值为$\sqrt{7}$，即可求出实数m的值

解答 解：由坐标旋转公式得：${y_B}=\frac{1}{2}{y_A}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_A}m{y_A}-2{y_B}=（m-1）{y_A}-\sqrt{3}{x_B}≤\sqrt{{{（m-1）}^2}+{{（-\sqrt{3}）}^2}}\sqrt{y_A^2+x_A^2}=\sqrt{{{（m-1）}^2}+3}$，
则$\sqrt{{{（m-1）}^2}+3}=\sqrt{7}⇒m=3$．
故答案为3．

点评 本题考查实数值的求法，解题时要注意单位圆、基本不等式的合理运用，属于中档题．