Question

3．若正实数x，y，z满足x+y+z=1，则$\frac{1}{x+y}$+$\frac{x+y}{z}$的最小值是3．

Answer 1

分析 由题意：x+y+z=1，那么$\frac{1}{x+y}=\frac{x+y+z}{x+y}=1+\frac{z}{x+y}$，利用基本不等式求解．

解答 解：由题意：x、y、z＞0，满足x+y+z=1．
则$\frac{1}{x+y}$+$\frac{x+y}{z}$=$\frac{x+y+z}{x+y}+\frac{z}{x+y}$=1+$\frac{z}{x+y}+\frac{x+y}{z}$$≥2\sqrt{\frac{z}{x+y}•\frac{x+y}{z}}+1=3$
当且仅当z=x+y=$\frac{1}{2}$时，取等号．
∴$\frac{1}{x+y}$+$\frac{x+y}{z}$的最小值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了基本不等式的变形化简能力和运用能力．属于基础题．