Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²$\frac{nπ}{2}$）a_n+sin²$\frac{nπ}{2}$，则该数列的前10项和为（　　）

• A． 89
• B． 76
• C． 77
• D． 35

Answer 1

分析 根据数列递推式，可得数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a_2k-1=k，数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a_2k=2^k，从而可求数列的前10项的和．

解答 解：因为a₁=1，a₂=2，所以a₃=（1+cos² $\frac{π}{2}$）a₁+sin² $\frac{π}{2}$=a₁+1=2，a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=[1+cos² $\frac{（2k-1）π}{2}$]a_2k-1+sin²$\frac{（2k-1）π}{2}$=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a_2k-1=k．
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+cos² $\frac{2kπ}{2}$）a_2k+sin²$\frac{2kπ}{2}$=2a_2k．
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a_2k=2^k．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故选：C．

点评 本题主要考查了数列的递推式，注意数列中的奇数项和偶数项的不同是解题的关键．