Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，且过点P（3，2）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设与直线OP（O为坐标原点）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：直线PA，PB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）设直线l的方程为2x-3y+t=0（t≠0），将直线方程代入椭圆方程得：8x²+4tx+t²-72=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式只要证明：k_AP+k_BP=0即可证明直线PA，PB与x轴围成等腰三角形．

解答 （1）解：由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，
联立解得：a²=18，b=3．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$．
（2）证明：设直线l的方程为2x-3y+t=0（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入椭圆方程得：8x²+4tx+t²-72=0，
△＞0⇒0＜|t|＜12，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{t}{2}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{t^2}-72}}{8}$，
∵k_AP+k_BP=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$=$\frac{（{y}_{1}-2）（{x}_{2}-3）+（{y}_{2}-2）（{x}_{1}-3）}{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}$，
∴分子=$（\frac{2{x}_{1}+t}{3}-2）$（x₂-3）+$（\frac{2{x}_{2}+t}{3}-2）（{x}_{1}-3）$
=$\frac{4}{3}{x}_{1}{x}_{2}$+$（\frac{t}{3}-4）$（x₁+x₂）-2t+12
=$\frac{{t}^{2}-72}{6}$+$\frac{t-12}{3}×（-\frac{t}{2}）$-2t+12
=0，
∴k_AP+k_BP=0，
∴k_AP=-k_BP，
∴直线PA、PB与x轴所成的锐角相等，
故围成等腰三角形．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．