Question

13．在平面直角坐标系下，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数），以原点O为极点，以x轴为非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ=0．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数得到直线l的普通方程，利用ρ²-4ρcosθ=0，得出曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，利用参数的几何意义求|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）直线l的普通方程为x-y-1=0，…（2分）
由ρ-4cosθ=0?ρ²-4ρcosθ=0?x²+y²-4x=0?（x-2）²+y²=4，
即曲线C的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4，…（5分）
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得${（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}=4$，即${t^2}-\sqrt{2}t-3=0$，
设方程${t^2}-\sqrt{2}t-3=0$的两根分别为t₁，t₂，则$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{14}$．…（10分）

点评 本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数的几何意义，属于中档题．