Question

20．设函数f（x）=x³+3x+sinx，x∈R，若当0＜θ＜$\frac{π}{2}$时，不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． [1，+∞）
• C． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}]$

Answer 1

分析 由题意可知f（x）为奇函数，当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，f（x）为单调递增函数；不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，即可转化为m（1-sinθ）＜1．

解答 解：由题意可知f（x）为奇函数，当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，f（x）为单调递增函数；
不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立 即可转化为：
f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）
故有：msinθ＞m-1
⇒m（sinθ-1）＞-1
⇒m（1-sinθ）＜1
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$∴sinθ∈（0，1）
∴m＜$\frac{1}{1-sinθ}$
又因为$\frac{1}{1-sinθ}$＞1
∴m≤1
故选：A

点评 本题主要考查了基本初等函数的单调性与奇偶性，以及分离参数求最值的应用，属中等题．