Question

18．已知函数f（x）是一次函数，g（x）是反比例函数，且满足f[f（x）]=x=2，g（1）=-1．
（1）求函数f（x）和g（x）；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），判断函数h（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax+b，（a≠0），g（x）=$\frac{k}{x}$，（k≠0），推导出a=1，b=1，k=-1，由此能求出结果．
（2）函数h（x）在（0，+∞）上是增函数，利用定义法能进行证明．

解答 解：（1）∵f（x）是一次函数，g（x）是反比例函数，
∴设f（x）=ax+b，（a≠0），g（x）=$\frac{k}{x}$，（k≠0），
∴f[f（x）]=x+2，∴a（ax+b）+b=x+2，
∴a²x+（a+1）b=x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=1}\\{（a+1）b=2}\end{array}\right.$，∴a=1，b=1，∴f（x）=x+1，
∵g（1）=-1，∴k=-1，∴g（x）=-$\frac{1}{x}$．
（2）判断：函数h（x）在（0，+∞）上是增函数，
由（1）知h（x）=$x-\frac{1}{x}$+1设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
$h（{x}_{1}）-h（{x}_{2}）=（{x}_{1}-\frac{1}{{x}_{1}}）-（{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}）$=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，
∴函数h（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调的判断与证明，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．