Question

16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{2}$，B=2A．
（1）求sinA；
（2）求边长c．

Answer 1

分析 （1）由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可求cosA的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值．
（2）根据已知及余弦定理可得$\sqrt{3}{c^2}-8c+5\sqrt{3}=0$，即可解得c的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，有$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{sinA}=\frac{{2\sqrt{2}}}{2sinAcosA}$，…（2分）
∴$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，…（4分）
∴$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（6分）
（2）在△ABC中，根据余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
∴${c^2}+8-4\sqrt{2}c\;•\;\frac{{\sqrt{6}}}{3}=3$，
即$\sqrt{3}{c^2}-8c+5\sqrt{3}=0$，…（8分）
∴$c=\sqrt{3}\;或\;c=\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$．…（10分）
当$c=\sqrt{3}$时，
∵c=a，且B=2A，
∴$A=\frac{π}{4}$与$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$矛盾，…（11分）
∴$c=\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．