Question

1．已知函数f（x）=2^x+2^ax+b且f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$．
（1）求a，b的值：
（2）判断并证明f（x）的奇偶性：
（3）判斯并证明函数f（x）在[0，+∞）的单调性，并求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）列方程组解出，（2）求出f（-x），判断与f（x）的关系，（3）求导数，判断导函数的符号，得出函数的单调性，根据单调性求出最值．

解答 解：（1）∵f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2+{2}^{a+b}=\frac{5}{2}}\\{{2}^{2}+{2}^{2a+b}=\frac{17}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$．
（2）由（1）知f（x）=2^x+2^-x，f（x）的定义域为R．f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（3）f（x）在[0，+∞）上是增函数．
f′（x）=2^xln2-2^-xln2=ln2（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）．
∵x≥0，∴2^x≥1，∴2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$≥0，∴f′（x）≥0．
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数．f_min（x）=f（0）=2，
∴f（x）的值域是[0，+∞）．

点评 本题考查了函数解析式的求解，函数奇偶性，单调性的判断，属于中档题．