Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：EO∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：AC⊥PB．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）通过三角形中位线的性质可得OE∥PD，进而根据线面平行的判定定理可以证明出EO∥平面PAD；
（2）先分别证明出AC⊥BD，PD⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面PBD，即可得出结论．

解答： 证明：（1）因为 底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，
所以 O为BD的中点．
又 E为PB的中点，
所以 EO∥PD．
因为 EO?平面PAD，PD?平面PAD，
所以 EO∥平面PAD．
（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又 PD∩BD=D，
所以 AC⊥平面PBD．
所以 AC⊥⊥PB．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆．