Question

已知向量

OA

=

a

=（cosα，sinα），

OB

=

b

=（2cosβ，2sinβ），

OC

=

c

=（0，d）（d＞0），其中O为坐标原点，且0＜α＜

π

2

＜β＜π．
（1）若

a

⊥（

b

-

a

），求β-α
（2）若

OB • OC

| OC |

=1，

OA • OC

| OC |

=

3

2

，求△OAB的面积S．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）两个向量垂直的充要条件是这两个向量的数量积为0，将

a

和（

b

-

a

）用坐标表示，求其数量积，再倒用两交差的余弦公式即可．
（2）由题意可得

OA

•

OB

=

3

2

，即1×2×cos∠AOB=

3

2

，求得cos∠AOB的值，可得sin∠AOB的值，从而求得△OAB的面积S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|•sin∠AOB 的值．

解答： 解：（1）∵

a

⊥（

b

-

a

），∴

a

•（

b

-

a

）=

a

•

b

-

a

2=2cosαcosβ+2sinαsinβ-1=2cos（α-β）-1=0，
即cos（α-β）=

1

2

，即cos（β-α）=

1

2

．
再结合0＜α＜

π

2

＜β＜π，∴0＜β-α＜π，可得β-α=

π

3

．
（2）由题意可得，|

OA

|=1，|

OB

|=2，
∵

OB • OC

| OC |

=1，

OA • OC

| OC |

=

3

2

，相乘可得

OA

•

OB

=

3

2

，即1×2×cos∠AOB=

3

2

，
∴cos∠AOB=

3

4

，
∴sin∠AOB=

13

4

，
∴△OAB的面积S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|•sin∠AOB=

1

2

×1×2×

13

4

=

13

4

．

点评：本题综合考查了向量数量积的运算性质和三角变换公式的应用，解题时要耐心细致，认真观察，属于基础题．