题目内容
已知数列{an}的前n项的和为Sn，且a1=1，a2=4，Sn+1=5Sn-4Sn-1（n≥2），等差数列{bn}满足b6=6，b9=12，
（1）分别求出数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若Cn=2an×（bn+6），求数列{Cn}的前n项和Tn．
（1）分别求出数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若Cn=2an×（bn+6），求数列{Cn}的前n项和Tn．
考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）利用递推关系式构造新数列，利用叠加法求出数列的通项公式，和利用等差数列求通项公式．
（2）根据（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，然后利用乘公比错位相减法求数列的前n项和．
（2）根据（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，然后利用乘公比错位相减法求数列的前n项和．
解答：
解：（1）已知数列{an}的前n项的和为Sn，且a1=1，a2=4，Sn+1=5Sn-4Sn-1（n≥2）①，
利用递推关系式：Sn=5Sn-1-4Sn-2②
则：①-②得：an+1=5an-4an-1
所以：
=4（常数）
an-an-1是以a2-a1为首项，公比是4的等比数列．
所以：an-an-1=3•4n-1
…
a2-a1=3•40
以上（n-1）个式子相加得：an-a1=3•
求得：an=4n
等差数列{bn}满足b6=6，b9=12，
则：设首项为b1，公差为d，
则：根据
解得：bn=2n-6
（2）由（1）得：cn=2an(bn+6)=n•4n+1
则：Tn=c1+c2+…+cn=1•42+2•43+…+n•4n+1③
4Tn=1•43+2•44+…+n•4n+2④
所以：③-④得：(-3)Tn=(42+…+4n+1)-n•4n+2
整理得：Tn=
•(-
)+
=
利用递推关系式：Sn=5Sn-1-4Sn-2②
则：①-②得：an+1=5an-4an-1
所以：
| an+1-an |
| an-an-1 |
an-an-1是以a2-a1为首项，公比是4的等比数列．
所以：an-an-1=3•4n-1
…
a2-a1=3•40
以上（n-1）个式子相加得：an-a1=3•
| (1-4n) |
| 1-4 |
求得：an=4n
等差数列{bn}满足b6=6，b9=12，
则：设首项为b1，公差为d，
则：根据
|
解得：bn=2n-6
（2）由（1）得：cn=2an(bn+6)=n•4n+1
则：Tn=c1+c2+…+cn=1•42+2•43+…+n•4n+1③
4Tn=1•43+2•44+…+n•4n+2④
所以：③-④得：(-3)Tn=(42+…+4n+1)-n•4n+2
整理得：Tn=
| 16(1-4n) |
| (-3) |
| 1 |
| 3 |
| n4n+2 |
| 3 |
=
| 16+(3n-1)4n+2 |
| 9 |
点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式构造新数列，进一步求数列的通项公式，乘公比错位相减法的应用．属于中等题型．
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