Question

在直角坐标系xoy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是

2

2

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）设曲线Γ上的三点A（x₁，y₁），B（1，

2

2

），C（x₂，y₂）与点F的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

Answer 1

考点：轨迹方程,等差数列的通项公式

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知，得

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

，由此能求出动点P的轨迹C₁的方程和轨迹是什么图形．
（Ⅱ）由已知可得|AF|=

2

2

（2-x₁），|BF|=

2

2

（2-1），|CF|=

2

2

（2-x₂）因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以x₁+x₂=2，故线段AC的中点为（1，

y1+y2

2

），其垂直平分线方程为y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

（x-1），由此能求出直线BT的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

．…（2分）
两边平方，化简得

x2

2

+y2=1．
故轨迹Γ的方程是

x2

2

+y2=1． …（4分）
（Ⅱ）由已知可得|AF|=

2

2

（2-x₁），|BF|=

2

2

（2-1），|CF|=

2

2

（2-x₂）．…（6分）
因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以

2

2

（2-x₁）+

2

2

（2-x₂）=2×

2

2

（2-1），
即得x₁+x₂=2，①…（5分）．
故线段AC的中点为（1，

y1+y2

2

），
其垂直平分线方程为y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

（x-1），②…（6分）．
因为A，C在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，把①代入化简得：-

x1-x2

y1-y2

=y₁+y₂． ④…（10分）
把④代入②，令y=0得，x=0.5，∴点T的坐标为（0.5，0）．…（11分）
∴直线BT的斜率k=

2 2 -0

1-0.5

=

2

．…（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．