Question

已知a²+b²+c²=1，a，b，c是实数，则3ab-3bc+2c²的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：对c分类讨论：c=0，即可得出；当c≠0时，3ab-3bc+2c²=

3ab-3bc+2c2

a2+b2+c2

=

3• a c • b c -3• b c +2

( a c )2+( b c )2+1

，设x=

a

c

，y=

b

c

，则可令M=3ab-3bc+2c²=

3xy-3y+2

x2+y2+1

，再利用一元二次方程有实数根与判别式的关系即可得出．

解答： 解：不妨考虑c，当c=0时，有3ab-3bc+2c²=3ab≤

3(a2+b2)

4

=

3

4

，
当c≠0时，3ab-3bc+2c²=

3ab-3bc+2c2

a2+b2+c2

=

3• a c • b c -3• b c +2

( a c )2+( b c )2+1

，
设x=

a

c

，y=

b

c

，则可令M=3ab-3bc+2c²=

3xy-3y+2

x2+y2+1

，
即有Mx²-3xy+My²+M+3y-2=0，
由于x为实数，则有判别式△₁=9y²-4M（My²+M+3y-2）≥0，
即有（9-4M²）y²-12My-4M（M-2）≥0，
由于y为实数，则△₂=144M²+16M（9-4M²）（M-2）≤0，
即有M（M-3）（2M²+2M-3）≤0，
由于求M的最大值，则M＞0，则M≤3．
故答案为：3．

点评：本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、分类讨论，考查了变形能力与推理能力、计算能力，属于难题．