Question

若二项式（ax-

1

x

）ⁿ的展开式的二项式系数的和为128，展开式的各项系数的和也为128，则展开式中

1

x3

的系数是

 

．

Answer 1

考点：二项式定理

专题：计算题,二项式定理

分析：利用赋值法求出展开式的二项式系数的和、展开式中各项系数和，列出方程解出n，a；利用展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为-3得展开式中

1

x3

的系数．

解答： 解：在（ax-

1

x

）ⁿ的展开式中，令x=1得展开式的各项系数和为2ⁿ
∵（ax-

1

x

）ⁿ的展开式的二项式系数的和为128，展开式中各项系数的和是128
∴2ⁿ=128，（a-1）ⁿ=128
∴n=7，a=3
∴（ax-

1

x

）ⁿ=（3x-

1

x

）⁷的展开式的通项为T_r+1=C₇^r（3x）^7-r（-x^-1）^r=（-1）^rC₇^r•3^7-rx^7-2r
令7-2r=-3得r=5
故展开式中

1

x3

的系数是=-1）⁵C₇⁵•3²=-189
故答案为：-189．

点评：本题考查利用赋值法求展开式的各项系数和；利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．