Question

定义函数d（x）=

1，  x∈Q 0，  x∉Q

，f（x）=1gx，那么下列命题中正确的序号是

 

．（把所有可能的图的序号都填上）．
①函数d（x）为偶函数；②函数d（x）为周期函数，且任何非零实数均为其周期；
③方程d（x）=f（x）有两个不同的根．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中函数d（x）=

1，  x∈Q 0，  x∉Q

，f（x）=1gx，分析d（x）的奇偶性与周期性，可判断①②；分析方程d（x）=f（x）根的个数，可判断③．

解答： 解：∵函数d（x）=

1，  x∈Q 0，  x∉Q

，f（x）=1gx，
对于①，当x∈Q时，d（-x）=d（x）=1，
当x∉Q时，d（-x）=d（x）=0，
即d（-x）=d（x）恒成立，
函数d（x）为偶函数，故正确；
对于②，函数d（x）为周期函数，且任何非零有理数均为其周期，故错误；
对于③，当且仅当x=10时，d（x）=f（x），故方程d（x）=f（x）仅有一个根，故错误．
故答案为：①

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性，周期性，函数零点与方程根的关系，难度不大，属于基础题．