Question

若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（

π

6

，

π

2

）是减函数，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．

解答： 解：由f（x）=cos2x+asinx
=-2sin²x+asinx+1，
令t=sinx，
则原函数化为y=-2t²+at+1．
∵x∈（

π

6

，

π

2

）时f（x）为减函数，
则y=-2t²+at+1在t∈（

1

2

，1）上为减函数，
∵y=-2t²+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=

a

4

．
∴

a

4

≤

1

2

，解得：a≤2．
∴a的取值范围是（-∞，2]．
故答案为：（-∞，2]．

点评：本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．