Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x-1．
（1）求f（x）的函数解析式；
（2）作出函数f（x）的简图，写出函数f（x）的单调区间及最值；
（3）当x的方程f（x）=m有四个不同的解时，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的性质

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：（1）当x＜0时，-x＞0，由已知的函数式，结合偶函数的定义，即可得到x＜0的表达式，进而得到f（x）的表达式；
（2）根据偶函数的图象关于原点对称，画出图象，由图象即可得到单调区间和最值；
（3）x的方程f（x）=m有四个不同的解，即有直线y=m与f（x）的图象有四个交点，结合图象即可得到m的取值范围．

解答： 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
则当x≥0时，f（x）=x²-2x-1，
则f（-x）=（-x）²-2（-x）-1=x²+2x-1，
∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）=x²+2x-1，
∴f(x)=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

；
（2）函数f（x）的简图：
            
则单调增区间为[-1，0]和[1，+∞），
单调减区间为（-∞，-1]和[0，1]；
当x=1或-1时，f（x）有最小值-2，无最大值；
（3）x的方程f（x）=m有四个不同的解，
即有直线y=m与f（x）的图象有四个交点，
由图象可知，m的取值范围是（-2，-1）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，注意运用偶函数的定义，考查函数的图象，以及通过图象观察得到函数的性质，以及方程根的个数和函数的图象的交点个数的关系，属于中档题．