Question

定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R．当x*x=y时，x=*

y

．对任意实数a，b，c，给出如下结论：
①（a*b）*c=a*（b*c）；  
②（a*b）+c=（a+c）*（b+c）；
③a*b=b*a；         
④*

a*b

≥

a+b

2

．
其中正确的结论是

 

．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R的定义，分别进行验证，即可得到结论．

解答： 解：①∵x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R，
∴a*b=lg（10^a+10^b），
∴（a*b）*c=lg（10^a*b+10^c）=lg（10lg（10a+10b）+10^c）=lg（10^a+10^b+10^c）；
同理可求，a*（b*c）=lg（10^a+10^b+10^c）；  
∴（a*b）*c=a*（b*c），故①正确；  
②中，左边（a*b）+c=lg（10^a+10^b）+c；
右边（a+c）*（b+c）
=lg（10^a+c+10^b+c）
=lg[10^c（10^a+10^b）]
=lg10^c+lg（10^a+10^b）
=c+lg（10^a+10^b）=左边，
故②正确；
③由①知，a*b=lg（10^a+10^b），同理可得b*a=lg（10^a+10^b），
即a*b=b*a，故③正确．
④∵当x*x=y时，记x=*

y

，
又x=*

a*b

，
∴x*x=lg（2•10^x）=a*b=lg（10^a+10^b），
∴2•10^x=10^a+10^b，
∴x=lg

10a+10b

2

≥lg10

a+b

2

，
∴

10a+10b

2

≥10 

a+b

2

成立，即④成立．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查对数的运算性质与对数恒等式的应用，考查推理与运算能力，属于中档题．