Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）图象的相邻两对称轴间的距离为

π

2

，若将函数f（x）的图象向左平移

π

6

个单位后图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求使f（x）≥

1

2

成立的x的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=-

1

2

g′(

π

6

)sinωx+

3

cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=

2

7

，且

π

12

＜x＜

π

3

，求cos2x的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由周期求得ω，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，结合正弦函数的图象和性质求得使f（x）≥

1

2

成立的x的取值范围．
（Ⅱ）由条件求得g（x）的解析式，sin(2x+

π

3

)=

1

7

．再根据

π

12

＜x＜

π

3

，求得cos(2x+

π

3

)=-

4 3

7

，再利用两角差的余弦公式求得cos（2x）=cos[（2x+

π

3

）-

π

3

]的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)图象的相邻两对称轴间的距离

π

2

，
∴函数的周期T=π，ω=

2π

π

=2，
∴f（x）=sin（2x+φ）．
将f（x）的图象向左平移

π

6

个单位后得到的函数为y=sin(2x+

π

3

+φ)，
∵y=sin(2x+

π

3

+φ)图象关于y轴对称，
∴

π

3

+φ=kπ+

π

2

(k∈Z)．
又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
即f(x)=sin(2x+

π

6

)，
由f(x)≥

1

2

得：sin(2x+

π

6

)≥

1

2

，
即2kπ+

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

(k∈Z)，
∴使f(x)≥

1

2

的x的取值范围是[kπ，kπ+

π

3

](k∈Z)．

（Ⅱ）∵g(x)=-

1

2

g′(

π

6

)sin2x+

3

cos2x，
∴g′(x)=-g′(

π

6

)cos2x-2

3

sin2x．
令x=

π

6

得g′(

π

6

)=-g′(

π

6

)cos

π

3

-2

3

sin

π

3

，解得g′(

π

6

)=-2，
∴g(x)=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)．
∵g(x)=

2

7

，
∴sin(2x+

π

3

)=

1

7

．
∵

π

12

＜x＜

π

3

，
∴

π

2

＜2x+

π

3

＜π，
∴cos(2x+

π

3

)=-

4 3

7

，
∴cos2x=cos(2x+

π

3

-

π

3

)=-

4 3

7

×

1

2

+

1

7

×

3

2

=-

3 3

14

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．