Question

下列有四种说法
①若复数z满足方程z²+2=0，则z³=-2

2

i；
②线性回归方程对应的直线y=bx+a一定经过其样本数据点（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）中的一个点；
③若（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），则

a1

2

+

a2

22

+…+

a2012

22012

=-1；
④用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）．
其中正确的是（　　）

• A、①②
• B、③
• C、③④
• D、④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,线性回归方程,二项式定理的应用

专题：阅读型,数系的扩充和复数,二项式定理

分析：①可先求出z，注意两解，然后计算z³；②由线性回归方程对应的直线的特点，即可判断；③可通过赋值法，分别令x=0，x=

1

2

，即可判断；④分别写出n=k，n=k+1的等式，对照比较左边即可判断④．

解答： 解：①若复数z满足方程z²+2=0，则z=±

2

i，z³=±2

2

i，故①错；
②线性回归方程对应的直线y=bx+a是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，
一定经过点（

.

x

，

.

y

），故②错；
③由于（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），可令x=

1

2

，则0=a₀+

a1

2

+

a2

22

+…+

a2012

22012

，
再令x=0，则a₀=1，故

a1

2

+

a2

22

+…+

a2012

22012

=-1，故③正确；
④用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）时，
当n=k时，为（k+1）（k+2）…（k+k）=2^k•1•3…（2k-1），
当n=k+1时，应为（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2）=2^k+1•1•3…（2k+1），
对照比较左边，左边需增添的一个因式是2（2k+1），故④正确．
故选C．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查复数的运算，线性回归方程对应直线的特点，解决二项式展开式的系数和问题常采用的赋值法，以及数学归纳法的运用，是一道基础题．