Question

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₅=b₃，设c_n=a_n+b_n（n∈N^*）．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）设S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求S_n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，依题意，可求得a_n=2n-1，b_n=3^n-1，从而可得数列{c_n}的通项公式；
（2）S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+（b₁+b₂+b₃+…+b_n），利用分组求和法即可求得S_n的值．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q（q≠1），
由已知得

1+d=q 1+4d=q2

，解得

d=2 q=3

，
所以a_n=2n-1，b_n=3^n-1，于是c_n=（2n-1）+3^n-1…（6分）
（2）S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+（b₁+b₂+b₃+…+b_n）
=（1+3+5+…+2n-1）+（1+3+3²+…+3^n-1）
=n²+

3n-1

2

．…（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，考查分组求和法，属于中档题．