Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足关系式：b_n=

a1+a2+a3+…an

n

（1）若b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{b_n}是以b₁为首相，以d为公差的等差数列，求证{a_n}也是等差数列．

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出数列{a_n}的前n项和利用a_n=S_n-S_n-1求得数列{a_n}的通项公式；
（2）依第一问求得数列{a_n}的通项公式，利用a_n+1-a_n为常数来证明．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
依题意可知S_n=n²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
当n=1时a₁=1，也符合，
∴a_n=2n-1，
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
依题意可知S_n=nb_n=nb₁+n（n-1）•d，
∴a_n=S_n-S_n-1=b₁+2（n-1）•d，（n≥2），
当n=1时a₁=b₁，也符合，
∴a_n=b₁+2（n-1）•d，
∴a_n+1-a_n=b₁+2n•d-b₁-2（n-1）•d=2d，d为常数，
∴{a_n}也是等差数列．

点评：本题主要考查了等差数列的性质和通项公式．解题过程重点利用了等差数列的定义来解决问题．