题目内容
已知函数f(x)=log2
．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性．
| x+2a+1 |
| x-3a+1 |
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性．
考点：对数函数图象与性质的综合应用
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据对数函数的定义即可得到不等式，解得即可．
（2）利用函数奇偶性判断即可，再根据复合函数的单调性，求出函数f（x）的单调区间．
（2）利用函数奇偶性判断即可，再根据复合函数的单调性，求出函数f（x）的单调区间．
解答：
解：（1）
＞0，所以当a＞0时，定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）；
当a＜0时，定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
当a=0时，定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）
（2）函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，当且仅当-2a-1=-（3a-1）
解得a=2，
此时f(x)=log2
．
对于定义域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）内任意x，-x∈D，
f（-x）=log2
=log2
=-log2
=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
当x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）内单调递减；
由于f（x）为奇函数，所以在（-∞，-5）内单调递减；
| x+2a+1 |
| x-3a+1 |
当a＜0时，定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
当a=0时，定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）
（2）函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，当且仅当-2a-1=-（3a-1）
解得a=2，
此时f(x)=log2
| x+5 |
| x-5 |
对于定义域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）内任意x，-x∈D，
f（-x）=log2
| -x+5 |
| -x-5 |
| x-5 |
| x+5 |
| x+5 |
| x-5 |
所以f（x）为奇函数；
当x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）内单调递减；
由于f（x）为奇函数，所以在（-∞，-5）内单调递减；
点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以及复合函数奇偶性和单调性，属于基础题．
练习册系列答案
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