Question

如图1所示，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，如图2所示，O、H、M分别为AE、BD、AB的中点，且DM=2．
（1）求证OH∥平面DEC；
（2）求证平面ADE⊥平面ABCE；
（3）求三棱锥H-OMB的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据条件取F为BC的中点，连OF、FH，由中位线性质和线面平行的判定证明面HOF∥面DEC，再证明
OH∥平面DEC；
（2）由E和O分别是中点得，DO⊥AE，再由长度和勾股定理证明DO⊥AE，根据线面垂直的判定证明DO⊥平面ABCE，再由面面垂直的判定得结论；
（3）由DO⊥平面ABCE和H是中点，求出三棱锥的高，代入体积公式求值．

解答： 证明：（1）取F为BC的中点，连OF、FH，
∵O、F分别为AE、BC的中点，∴OF∥EC，
∵OF?面DEC，EC?面DEC，
∴OF∥面DEC，
同理可证，HF∥面DEC，OF∩HF=F，
∴面HOF∥面DEC，又OH?面HOF，
∴OH∥平面DEC；
（2）∵AD=DE=2，且点O是AE的中点，
∴DO⊥AE，DO=

2

，
∵M为AB的中点，∴OM=

2

，且AE⊥OM，
又∵DM=2，∴DO²+OM²=DM²，
∴DO⊥OM，
∵DO⊥AE，AE∩OM=O，∴DO⊥平面ABCE，
∵DO?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCE；
解：（3）由（2）知，DO⊥平面ABCE，
∴点H到平面OMB的距离是

1

2

DO=

2

2

，
则V_H-OMB=

1

3

×

1

2

×1×2×

2

2

=

2

6

．

点评：本题考查了三棱锥的体积，线面平行的判定，线面垂直和面面垂直的性质、判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定定理、性质定理是解答本题的关键，考查了空间想象能力、推理论证的能力．