Question

已知圆C₁：（x-1）²+（y-1）²=2与圆C₂关于直线l：y=x+m对称．
（1）若直线l截圆C₁所得弦长为2，求实数m的值；
（2）若m=4，P为直线l上一动点，过P作圆C₂的两条切线，切点分别为A，B，求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）若直线l截圆C₁所得弦长为2，则圆心C₁到直线l的距离d=1，即可求实数m的值；
（2）求出圆心C₂到直线l的距离d′，可得|PA|的范围，计算出cos∠APB，可得

PA

•

PB

，换元，利用基本不等式，即可求出

PA

•

PB

的取值范围．

解答： 解：（1）圆C₁：（x-1）²+（y-1）²=2的半径为

2

．
∵直线l截圆C₁所得弦长为2，
∴圆心C₁到直线l的距离d=1，
∴

|1-1+m|

2

=1，
∴m=±

2

；
（2）m=4时，直线l：x-y+4=0，故圆心C₁关于的对称点圆心C₂（-3，5），
∴圆C₂：（x+3）²+（y-5）²=2，
∴圆心C₂到直线l的距离d′=

|3-5+4|

2

=2

2

．
设|PA|=a，则a=

|PC2|2-2

≥

d′2-2

≥

6

，cos∠APC₂=

|PA|

|PC2|

=

a

a2+2

，
∴cos∠APB=cos2∠APC₂=

a2-2

a2+2

，
∴

PA

•

PB

=a²cos∠APB=

a2(a2-2)

a2+2

，
令t=a²+2≥8，则

PA

•

PB

=t+

8

t

-6≥3，
∴

PA

•

PB

的取值范围是[3，+∞）．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．