Question

△ABC中，AB=4，AC=4

2

，∠BAC=45°，以AC的中线BD为折痕，将△ABD沿BD折起，构成二面角A-BD-C．在面BCD内作CE⊥CD，且CE=

2

．
（Ⅰ）求证：CE∥平面ABD；
（Ⅱ）如果二面角A-BD-C的大小为90°，求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得△ABC为等腰直角三角形，由D为AC的中点得BD⊥AC，以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD⊥CD，由此能证明CE∥平面ABD．
（2）设AC中点为F，AE中点为G，则∠BFG为二面角B-AC-E的平面角，由此能求出二面角B-AC-E的余弦值．

解答： （1）证明：由AB=4，AC=4

2

，∠BAC=45°，
得BC=4，所以△ABC为等腰直角三角形，
由D为AC的中点得BD⊥AC，以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD⊥CD，
因为CE⊥CD，所以CE∥BD，
又CE?平面ABD，BD?平面ABD，
所以CE∥平面ABD．
（2）解：如果二面角A-BD-C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，因此AD⊥CE，
又CE⊥CD，所以CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC．
由题意AD=DC=2

2

，所以Rt△ADC中，AC=4．
设AC中点为F，因为AB=BC=4，所以BF⊥AC，且BF=2

3

，
设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，
所以∠BFG为二面角B-AC-E的平面角，
连结BG，在△BCE中，因为BC=4，CE=

2

，∠BCE=135°，
所以BE=

26

．在Rt△DCE中DE=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

，
于是在Rt△ADE中，AE=

(2 2 )2+( 10 )2

=3

2

．
在△ABE中，BG2=

1

2

AB2+

1

2

BE2-

1

4

AE2=

33

2

，
所以在△BFG中，cos∠BFG=

12+ 1 2 - 33 2

2•2 3 • 2 2

=-

6

3

．
因此二面角B-AC-E的余弦值为-

6

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．