Question

定义在R上的奇函数f（x）=a+

1

1+4x

．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（-∞，+∞）的单调性并用定义给予证明；
（3）若对任意的t∈[1，+∞），不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数性质f（0）=0得到关于a的方程求解，（2）先给出单调性的判断，然后利用定义法求证，（3）利用单调性和奇偶性去函数符号，然后恒成立转化为最值求解．

解答： 解（1）；函数f（x）为定义域为R上的奇函数，则有f0）=0，即a+

1

2

=0，则a=-

1

2

；
（2）由（1）得函数f（x）=

1

1+4x

-

1

2

=，
函数f（x）在（-∞，+∞）的单调递减，证明如下；
取任意两实数x₁、x₂，且x₁＜x₂，则有
f（x₁）-f（x₂）=

1

1+4x1

-

1

2

-（

1

1+4x2

-

1

2

）=

1

1+4x1

-

1

1+4x2

=

4x2-4x1

(1+4x1)(1+4x2)

，
∵x₁＜x₂，
∴4 x2-4 x1＞0，

4x2-4x1

(1+4x1)(1+4x2)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
则函数f（x）在（-∞，+∞）的单调递减．
（3）不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0即为不等式f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
由函数f（x）为R上的奇函数，f（-x）=-f（x）有f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又（2）得函数f（x）在R的单调递减，得t²-2t＞k-2t²，
则k＜3t²-2t，
令g（t）=3t²-2t，t∈[1，+∞），则函数在[1，+∞）上单调递增，t=1时，取得最小值1，
则实数k的取值范围为k＜1．

点评：在函数性质部分一定要牢固掌握定义法和相应的步骤，便于快速解题，恒成立问题一般都是转化为最值问题求解．