Question

9．对于实数m，n，定义一种运算：$m*n=\left\{{\begin{array}{l}{m，m≥n}\\{n，m＜n}\end{array}}\right.$，已知函数f（x）=a*a^x，其中0＜a＜1，若f（t-1）＞f（4t），则实数t的取值范围是（-$\frac{1}{3}$，2]．

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，得出f（x）的单调性，根据单调性得出t-1和4t的大小关系，从而可得t的范围．

解答 解：∵0＜a＜1，
∴当x≤1时，a^x≥a，当x＞1时，a＞a^x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a，x＞1}\\{{a}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$．
∴f（x）在（-∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上为常数函数，
∵f（t-1）＞f（4t），
∴t-1＜4t≤1或t-1≤1＜4t，
解得-$\frac{1}{3}$＜t≤$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{4}＜t≤2$．
∴-$\frac{1}{3}＜t≤2$．
故答案为：（-$\frac{1}{3}$，2]．

点评 本题考查了分段函数的单调性判断与应用，属于中档题．