Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+2x+1，且f（x）在区间（-2，-1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围（-∞，-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a＜（x+$\frac{2}{x}$）_max=-2$\sqrt{2}$，根据不等式的性质求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=x²-ax+2，
由题意得?x∈（-2，-1），
使得不等式f′（x）=x²-ax+2＜0成立，
即x∈（-2，-1）时，a＜（x+$\frac{2}{x}$）_max，
令g（x）=x+$\frac{2}{x}$，x∈（-2，-1），
则g′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：-2＜x＜-$\sqrt{2}$，
令g′（x）＜0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜-1，
故g（x）在（-2，-$\sqrt{2}$）递增，在（-$\sqrt{2}$，-1）递减，
故g（x）_max=g（-$\sqrt{2}$）=-2$\sqrt{2}$，
故满足条件a的范围是（-∞，-2$\sqrt{2}$），
故答案为：（-∞，-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题．