Question

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且S_n=

n(an-a1)

2

．
（1）求a₁；
（2）证明数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设lgb_n=

an+1

3n

，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）岭n=1，即可求a₁；
（2）根据等差数列的定义即可证明数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）根据等比数列的定义和通项公式，建立方程组进行求解即可得到结论．

解答： 解：（1）令n=1，则a₁=S₁=

1(a1-a1)

2

=0
（2）由Sn=

n(an-a1)

2

，即Sn=

nan

2

，①
得  Sn+1=

(n+1)an+1

2

．②
②-①，得  （n-1）a_n+1=na_n．③
于是，na_n+2=（n+1）a_n+1．④
③+④，得na_n+2+na_n=2na_n+1，即a_n+2+a_n=2a_n+1
又a₁=0，a₂=1，a₂-a₁=1，
所以，数列{a_n}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，a_n=n-1
（3）假设存在正整数数组（p，q），使b₁，b_p，b_q成等比数列，则lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差数列，
于是，

2p

3p

=

1

3

+

q

3q

所以，q=3q(

2p

3p

-

1

3

)（☆）．
易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解
当p≥3，且p∈N*时，

2(p+1)

3p+1

-

2p

3p

=

2-4p

3p+1

＜0，故数列{

2p

3p

}（p≥3）为递减数列，
于是

2p

3p

-

1

3

≤

2×3

33

-

1

3

＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．
综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b₁，b_p，b_q成等比数列

点评：本题主要考查等差数列个等比数列通项公式的应用，要求熟练掌握相应的通项公式．