Question

已知函数f（x）=cos2ωx+

3

sin2ωx（0＜ω＜1），直线x=

π

3

s是f（x）图象的一条对称轴．
（1）试求ω的值
（2）已知函数y=g（x）的图象是由y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移

2π

3

个单位长度得到，若g（2α+

π

3

）=

6

5

，α∈（0，

π

2

），求sinα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），再由对称轴得到2sin(

2π

3

ω+

π

6

)=±1，解出ω，再由ω的范围，即可得到；
（2）由图象变换规律，得到g（x）=2sin（

1

2

x+

π

2

），再由条件得到cos(α+

π

6

)=

3

5

．由α的范围得到sin（α+

π

6

），再由sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]，运用两角差的正弦公式，即可得到所求值．

解答： 解：（1）f（x）=cos2ωx+

3

sin2ωx（0＜ω＜1）
=2（

1

2

cos2ωx+

3

2

sinωx）=2sin（2ωx+

π

6

），
由于直线x=

π

3

是函数f(x)=2sin(2ωx+

π

6

)图象的一条对称轴，
所以 2sin(

2π

3

ω+

π

6

)=±1，
因此

2π

3

ω+

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，
则ω=

3

2

k+

1

2

(k∈Z)，
又0＜ω＜1，所以-

1

3

＜k＜

1

3

，
从而k=0．所以ω=

1

2

；
（2）由（1）知f(x)=2sin(x+

π

6

)，
由题意可得g(x)=2sin[

1

2

，即g（x）=2sin（

1

2

x+

π

2

），
即g(x)=2cos(

1

2

x)．
由g(2α+

π

3

)=2cos

1

2

(2α+

π

3

)=2cos(α+

π

6

)=

6

5

，得cos(α+

π

6

)=

3

5

．
又α∈(0，

π

2

)，

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，所以sin(α+

π

6

)=

4

5

，
所以sinα=sin[(α+

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

．

点评：本题考查三角函数的图象与性质，考查三角恒等变换及角的变换技巧，考查三角函数的图象变换规律，掌握这些是迅速解题的关键．