Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线L：mx-y+1-m=0．
①求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点；
②求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：①将直线l的方程变形提出m，根据直线方程的斜截式，求出直线恒过点（1，1），即可证明结论；
②直线l截圆所得的弦最长时，一定过圆心；当弦长最短时，AC和直线L垂直，即可求得L的直线方程．

解答： ①证明：∵直线L：mx-y+1-m=0即为y=m（x-1）+1，
∴直线l恒过（1，1），
∵1²+（1-1）²=1＜5，
∴A（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5的内部，
∴对m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点；
②解：被圆截得的弦最长的直线一定过圆心，方程为y=1，
它的圆心为C（0，1），由弦长最短，可得AC和直线L垂直，
故直线l的方程为x=1．

点评：判断直线与圆的位置关系，一般利用圆心与直线的距离与半径的大小关系加以判断，有时也可转化为直线恒过的点来判断．