Question

已知{a_n}是一个公差小于0的等差数列，且满足a₃a₇=-27，a₂+a₈=6
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，在由所有前n项和S_n组成的数列{S_n}中，哪一项最大，最大项是多少？

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a₃，a₇是方程x²-6x-27=0的两个根，由此求出a_n=-3n+18，n∈N^*．
（2）由S_n=15n+

n(n-1)

2

×(-3)=-

3

2

n2+

33

2

n=-

3

2

(n-

11

2

)2+

363

8

，能求出在由所有前n项和S_n组成的数列{S_n}中，第5项或者第6项最大，最大项是S₅=45或S₆=45．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为a．
由题可知，d＜0，
∵a₃a₇=-27，a₂+a₈=6，∴a₂+a₇=6，
∴a₃，a₇是方程x²-6x-27=0的两个根，
∵d＜0，解得a₃=9，a₇=-3，
所以d=

-3-9

7-3

=-3，a₁=15，
所以a_n=-3n+18，n∈N^*．
（2）由（1）可知，S_n=15n+

n(n-1)

2

×(-3)
=-

3

2

n2+

33

2

n=-

3

2

(n-

11

2

)2+

363

8

，
所以当n=5或n=6时，S_n取得最大值，最大值为S₅=S₆=45．
故在由所有前n项和S_n组成的数列{S_n}中，
第5项或者第6项最大，最大项是S₅=45或S₆=45．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查在由所有前n项和S_n组成的数列{S_n}中，哪一项最大，最大项是多少的求法，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．