题目内容
在△ABC中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，已知：C=
，a+b=λc（其中λ＞1）
（1）当λ=2时，证明：a=b=c；
（2）若
•
=λ3，求边长c的最小值．
| π |
| 3 |
（1）当λ=2时，证明：a=b=c；
（2）若
| AC |
| BC |
考点：平面向量数量积的运算,余弦定理
专题：综合题,解三角形,平面向量及应用
分析：（1）利用正弦定理，可得sinB+sin(
π-B)=
，求出B，即可证明：a=b=c；
（2）
•
=λ3，ab=2λ3，再由a+b=λc可得c的关系式，利用导数，即可求边长c的最小值．
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（2）
| AC |
| BC |
解答：
（1）证明：∵a+b=λc，由正弦定理得，sinA+sinB=λsinC=
，
∴sinB+sin(
π-B)=
，化简得：sin(B+
)=1，∴B=
，
∴△ABC为正三角形，∴a=b=c．…（5分）
（2）解：由余弦定理得；c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，
又由
•
=λ3知：ab=2λ3，再由a+b=λc可得：c2=λ2c2-6λ3⇒c2=
，
设f(λ)=
(λ＞1)，下面求f（λ）的最值．
求导函数：f′(λ)=
，
当f'（λ）=0时，解得λ=
，其中λ=0，λ=-
舍去．
由于当1＜λ＜
时，f'（λ）＜0；当λ＞
时f'（λ）＞0，
故f（λ）在(1，
)上时减函数，在(
，+∞)上是增函数，
因此当λ=
时，f（λ）取极小值，又在（1，+∞）上f（λ）有且只有一个极值点，
所以当λ=
时，f（λ）取到最小值．f(λ)min=f(
)=9
，
于是在△ABC中边长c存在最小值，不存在最大值，其最小值为cmin=
=3
．…（13分）
| 3 |
∴sinB+sin(
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴△ABC为正三角形，∴a=b=c．…（5分）
（2）解：由余弦定理得；c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，
又由
| AC |
| BC |
| 6λ3 |
| λ2-1 |
设f(λ)=
| 6λ3 |
| λ2-1 |
求导函数：f′(λ)=
6λ2(λ+
| ||||
| (λ2-1)2 |
当f'（λ）=0时，解得λ=
| 3 |
| 3 |
由于当1＜λ＜
| 3 |
| 3 |
故f（λ）在(1，
| 3 |
| 3 |
因此当λ=
| 3 |
所以当λ=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
于是在△ABC中边长c存在最小值，不存在最大值，其最小值为cmin=
| f(λ)min |
| 4 | 3 |
点评：本题考查正弦定理、余弦定理，考查导数知识的运用，确定函数关系式是关键．
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