Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$．
（1）写出该函数的单调递增区间；
（2）解不等式f（1-x²）＞f（2x）．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的单调性便可得出该函数的单调递增区间为[0，+∞）；
（2）根据f（x）的解析式可讨论x：①$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{2x≥0}\end{array}\right.$，根据f（x）的单调性，从而有1-x²＞2x，这样便可得到$0≤x＜-1+\sqrt{2}$，②$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}＞0}\\{2x＜0}\end{array}\right.$，这种情况满足f（1-x²）＞f（2x），从而便可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）x≥0时，f（x）=x²+1单调递增；
∴f（x）的单调递增区间为[0，+∞）；
（2）①若$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{2x≥0}\end{array}\right.$，即0≤x≤1，则1-x²＞2x；
解得$-1-\sqrt{2}＜x＜-1+\sqrt{2}$；
∴$0≤x＜-1+\sqrt{2}$；
②若$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}＞0}\\{2x＜0}\end{array}\right.$，即-1＜x＜0，满足f（1-x²）＞f（2x）；
∴综上得原不等式的解集为$（-1，-1+\sqrt{2}）$．

点评 考查二次函数的单调性，分段函数单调性的判断，以及根据函数的单调性解不等式．