Question

18．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且BE⊥PC于E，PA=a，$BE=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，点F在线段AB上，并有EF∥平面PAD．则$\frac{BF}{FA}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF=EG，则F即为所求作的点．由此能求出结果．

解答 解：在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，
在AB上取点F，使AF=EG，则F即为所求作的点．
∵EG∥CD∥AF，EG=AF，
∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE∥AG．
又AG?平面PAD，FE?平面PAD，∴EF∥平面PAD．
又在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．
在Rt△PBC中，BC²=CE•CP
∴CP=$\frac{{a}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}a}$=$\sqrt{3}$a．又$\frac{EG}{CD}$=$\frac{PE}{PC}$，∴EG=$\frac{PE}{PC}$•CD=$\frac{2}{3}$a，
∴AF=EG=$\frac{2}{3}$a．∴点F为AB的一个三等分点．
∴$\frac{BF}{FA}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查空间中两条线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．