Question

17．将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，如图1，图2，不考虑其它情况，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S₁cm²，S₂cm²，其中S₁≤S₂．记折痕长为lcm．
（1）若l=4，求S₁的最大值；
（2）若S₁：S₂=1：3，求l的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设AN=x，AM=y，则x²+y²=16，从而利用基本不等式求最大值；
（2）S₁=$\frac{1}{4}$×8×6=12，当AMN构成三角形时，xy=24，从而可得y=$\frac{24}{x}$（3≤x≤6）；从而化简为t+$\frac{2{4}^{2}}{t}$，从而讨论函数的单调性可得48≤l²≤73，且l的大小连续，易知l的最小值为6＜4$\sqrt{3}$，从而求得．

解答 解：（1）当l=4时，AMN构成三角形，
设AN=x，AM=y，则x²+y²=16，
故S₁=$\frac{1}{2}$xy≤$\frac{1}{2}$$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$=4，
（当且仅当x=y=2$\sqrt{2}$时，等号成立）；
故S₁的最大值为4cm²；
（2）S₁=$\frac{1}{4}$×8×6=12，
当AMN构成三角形时，
设AN=x，AM=y，则S₁=$\frac{1}{2}$xy=12，
故xy=24，故y=$\frac{24}{x}$（3≤x≤6）；
x²+y²=x²+$\frac{2{4}^{2}}{{x}^{2}}$，
令t=x²，（9≤t≤36），
故x²+$\frac{2{4}^{2}}{{x}^{2}}$=t+$\frac{2{4}^{2}}{t}$，
故t+$\frac{2{4}^{2}}{t}$在[9，24]上是减函数，在[24，36]上是增函数；
且9+$\frac{2{4}^{2}}{9}$=73，24+24=48，36+$\frac{2{4}^{2}}{36}$=52，
故48≤l²≤73，
故4$\sqrt{3}$≤l≤$\sqrt{73}$；
且l的大小连续，易知l的最小值为6＜4$\sqrt{3}$，
故6≤l≤$\sqrt{73}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及基本不等式的解法与应用．