Question

18．斜率为2的直线m交双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1与A，B两点，抛物线y²=2px恰过AB中点M，若M的横坐标为$\frac{p}{2}$，则双曲线的离心率e═$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意，M（$\frac{p}{2}$，p），利用点差法，结合直线m斜率为2，可得b=2a，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，M（$\frac{p}{2}$，p）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=p，y₁+y₂=2p，
A，B代入双曲线方程，作差，整理可得b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）-a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴pb²（x₁-x₂）-2pa²（y₁-y₂）=0，
∵直线m斜率为2，
∴b²=4a²，
∴b=2a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．