Question

如图，已知AC，BD是圆O的两条互相垂直的直径，直角梯形ABEF所在平面与圆O所在平面互相垂直，其中∠FAB=∠EBA=90°，BE=2，AF=6，AC=4

2

，点N为线段EF中点．
（Ⅰ）求证：直线NO∥平面EBC；
（Ⅱ）若点M在线段AC上，且点M在平面CEF上的射影为线段NC的中点，请求出线段AM的长．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）说明AF⊥平面ABCD，以点A为原点可建立空间直角坐标系，求出B，C，O，E，F，N的坐标，说明

AB

=(4，0，0)是平面EBC的法向量，通过

AB

•

NO

=(4，0，0)•(0，2，-4)=0，证明直线NO∥平面EBC．（Ⅱ）点M在线段AC上，可设

AM

=λ

AC

=λ(4，4，0)=(4λ，4λ，0)
NC的中点为Q（3，2，2），

MQ

=(3-4λ，2-4λ，2)，利用MQ⊥平面CEF，数量积为0，求出λ，然后求解线段AM的长．

解答： 解：（Ⅰ）由题设AF⊥AB，且平面ABEF⊥平面ABCD，可知AF⊥平面ABCD
又BD是圆的直径，AB⊥AD，
因此，以点A为原点可建立空间直角坐标系如图
由于AC，BD是圆O的两条互相垂直的直径，且AC=4

2

，
所以四边形ABCD是边长为4的正方形
则B（4，0，0），C（4，4，0），O（2，2，0），E（4，0，2），F（0，0，6），N（2，0，4）∵AB，⊥EB，AB，⊥BC，∴

AB

=(4，0，0)是平面EBC的法向量∵

NO

=(0，2，-4)，

AB

•

NO

=(4，0，0)•(0，2，-4)=0
所以直线NO∥平面EBC              …（7分）
（Ⅱ）点M在线段AC上，可设

AM

=λ

AC

=λ(4，4，0)=(4λ，4λ，0)
NC的中点为Q（3，2，2），

MQ

=(3-4λ，2-4λ，2)，
由题设有MQ⊥平面CEF
∵

EF

=(-4，0，4)，

EC

=(0，4，-2)，
∴

MQ • EF =-4(3-4λ)+8=0 MQ • EC =4(2-4λ)-4=0

解得λ=

1

4

AM

=(4λ，4λ，0)=(1，1，0)，
线段AM的长为|

AM

|=

2

…（13分）

点评：本题考查空间直角坐标系的应用，向量的数量积证明直线与平面平行，直线与平面垂直的应用，考查空间两点间的距离公式的应用．