Question

已知数列{a_n}满足前n项和S_n=n²+1，数列{b_n}满足b_n=

2

an+1

，且前n项和为T_n，设c_n=T_2n+1-T_n
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）判断数列{c_n}的单调性；
（3）当n≥2时，T_2n+1-T_n＜

1

5

-

7

12

log₂（a-1）的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由数列{a_n}的前n项和公式S_n=n²+1，先求出a_n，再由b_n=

2

an+1

即可求数列{b_n}的通项公式．
（2）求出c_n的通项公式，利用作差法求出c_n+1-c_n的符号，即可判断{c_n}的单调性．
（3）根据（2）求出的T_2n+1-T_n最大值，结合对数的运算性质解不等式即可．

解答： 解：（1）a₁=2，a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）．
∴a_n=

2， n=1 2n-1， n≥2

，
∵b_n=

2

an+1

，
∴当n=1时，b₁=

2

3

，
当n≥2时，b_n=

2

an+1

=

2

2n-1+1

=

1

n

，
即b_n=

2 3 ， n=1 1 n ， n≥2

．
（2）∵c_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

，
∴c_n+1-c_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

＜0，
∴{c_n}是递减数列．
（3）由（2）知，c_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

单调递减，
则当n=2时，c₂=

1

3

+

1

4

+

1

5

为最大，
由T_2n+1-T_n＜

1

5

-

7

12

log₂（a-1）得，

1

3

+

1

4

+

1

5

＜

1

5

-

7

12

log₂（a-1），

1

3

+

1

4

＜-

7

12

log₂（a-1），
即

7

12

＜-

7

12

log₂（a-1），
即log₂（a-1）＞-1
∴a-1＞

1

2

，
即a＞

5

2

．

点评：本题主要考查数列递推关系的应用，根据条件求出数列的通项公式是解决本题的关键．