Question

已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=

2

，则球O的内接正四面体的棱长等于（　　）

• A、

  2 6

  3

• B、

  6

  3

• C、

  3 6

  2

• D、2

  2 3

  2

Answer 1

考点：球内接多面体,球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），再求出球O的内接正四面体的棱长．

解答： 解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，
∴四面体S-ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径
∵SA=AB=1，BC=

2

，
∴2R=2
∴R=1
设内接正四面体的棱长等于a，则内接正四面体的高等于

a2- 1 3 a2

=

6

3

a
∴R=

3

4

×

6

3

a=1
∴a=

2 6

3

故选：A．

点评：本题考查的知识点是球内接多面体，考查求球O的内接正四面体的棱长，其中根据已知条件求出球O的直径（半径），是解答本题的关键．